(* TP PF sujet n°1 *)

(* -------------------------------------------------------- *)

(* III *)

(* (a) *)

let rec puissance x n = 
    if n=0 then 1.
           else x*.(puissance x (n-1));;

let rec pgcd a b =
    if b=0 then a
           else pgcd b (a mod b);;

let rec fib n = 
    if n=0 then 0
           else if n=1 then 1
                       else (fib (n-1))+(fib (n-2));;

let rec existe_diviseur n m =
(* test l'existence d'un diviseur de n plus petit que m (pour m>=1) *)
    (m>1) & ((n mod m = 0) or (existe_diviseur n (m-1)));;

let premier n =
(* détermine si n est un nombre premier (pour n>1) *)
    not (existe_diviseur n (n-1));;


(* (d) *)

let rec nb_add_fib n = 
    if n=0 then 0
           else if n=1 then 0
                       else nb_add_fib (n-1) + nb_add_fib (n-2) + 1;;

(* on a : nb_add_fib n = (fib n) - 1 *)


(* (e) *)

let rec fib2 n = 
    if n=0 then (0,1)
           else let (a,b) = fib2 (n-1) in
                    (b,a+b);;

let rec nb_add_fib2 n = 
    if n=0 then 0
           else nb_add_fib2 (n-1) + 1;;


(* on a : nb_add_fib2 n = n *)

(* -------------------------------------------------------- *)

(* IV *)

(* (a) *)

function (x,y) -> if x=0 then y else 0.;;

(0,(function x -> if x=0. then x else 0.));;

(0,0.,0.);;

(0,(0.,0.));;

function x -> function y -> if x=0 then y else 0.;;

function x -> (x 0)+.0.;;

((function x -> if x=0 then 0. else 0.),
 (function x -> if x=0 then 0. else 0.));;

(* (b) *)

let integrale (a,b) f =
(* calcul de l'intégrale de f sur l'intervalle (a,b) *)   
    let h = (b-.a)/.6. in
        h*.(f(a)+.4.*.f((a+.b)/.2.)+.f(b));;


let derivee f = 
(* dérivée d'une fonction dérivable *)
    function x0 -> 
      let h = 0.0001 in
          (f(x0+.h)-.f(x0))/.h;;

let compose f g = 
(* composée de 2 fonctions *)
    function x -> f(g(x));;


let u(x) = 3.*.x*.x+.1.;;

let v(x) = sin(x);;

let g = u in 
let f = v in
let x = 2. in 
    (derivee (compose g f))(x);;

(*
      - : float = -2.2706035638764277
*)

let g = u in 
let f = v in
let x = 2. in 
 ((derivee f)(x))*.((derivee g)(f(x)));;   

(*
     - : float = -2.27078038638068591
*)

let f = v in
let a = 0. in
let x = 0.5 in 
    (derivee (function x -> (integrale (a,x) f)))(x);;

(*
   - : float = 0.479501407252003187
*)

let f = v in
let x = 0.5 in 
    f(x);; 

(*
   - : float = 0.479425538604203
*)


(* (d) *)

let rec sigma u n = 
    if n=0 then u(0) 
           else u(n)+(sigma u (n-1));;

(* (e) *)

sigma (function n -> n) 100;;

sigma (function n -> if n mod 2 = 0 then n else -n) 100;;

let inv100 x =

    let rec sigma u n = 
        if n=0 then u(0) 
               else u(n)+.(sigma u (n-1)) in

    sigma (function n -> (puissance (1.-.x) n)) 100;;
 
(* inv100 x = 1./.x pour 0<x<=1 *)